Cara Menyelesaikan Persamaan Diferensial
4 Metode:PengertianMenyelesaikan Persamaan Diferensial Orde SatuMenyelesaikan Persamaan Diferensial Orde DuaMenyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Tinggi
Topik persamaan diferensial mencakup penggunaan turunan yang dipelajari selama dua atau tiga semester dalam kuliah kalkulus. Turunan adalah laju perubahan dari sebuah nilai terhadap nilai lainnya; contohnya, laju perubahan kecepatan sebuah objek terhadap waktu. Turunan umum dijumpai dalam kehidupan sehari - hari. Misalnya, teori bunga majemuk menyatakan bahwa tingkat akumulasi bunga sebanding dengan jumlah rekening awal, dV(t)/dt=rV(t) dan V(0)=P, dimana P adalah jumlah rekening pokok (awal), V(t), adalah fungsi dari waktu, nilai rekening saat ini (dari mana nilai bunga diperoleh), dan r adalah suku bunga (dt adalah jeda waktu sesaat, dV(t) adalah nilai yang sangat kecil saat perubahan pada V(t) terjadi , dan hasil bagi mereka adalah tingkat akumulasi). Meski bunga kartu kredit umumnya bertambah per harinya dan digambarkan dengan APR, tingkat persentase tahunan, persamaan diferensial ini dapat diselesaikan untuk menghasilkan solusi tetap V(t) = Pe^(rt). Artikel ini akan menunjukkan kepada Anda bagaimana cara menyelesaikan berbagai macam persamaan diferensial yang sering dijumpai, terutama dalam matematika dan fisika.
Langkah
1
Pengertian
-
1Tentukan turunan. Turunan (disebut juga differential quotient (hasil bagi diferensial); terutama di Inggris) – adalah limit rasio dari peningkatan sebuah fungsi (umumnya y) terhadap peningkatan sebuah variabel (umumnya x) dalam fungsi tersebut, karena x umumnya bernilai 0; perubahan sesaat dari sebuah nilai terhadap nilai lainnya, seperti kecepatan yang merupakan perubahan sesaat dari jarak terhadap waktu. Bandingkan turunan pertama, dan turunan kedua:[1]
- Turunan pertama – turunan dari sebuah fungsi, contoh: "Kecepatan adalah turunan pertama dari jarak terhadap waktu."
- Turunan kedua – turunan dari turunan pertama sebuah fungsi, contoh: "Percepatan adalah turunan kedua dari jarak terhadap waktu."
-
2Kenali orde dan tingkat dari persamaan diferensial. Orde dari persamaan diferensial ditentukan oleh turunan dengan orde tertinggi; tingkat ditentukan oleh variabel dengan pangkat terbesar. Contohnya, persamaan diferensial di Gambar 1 memiliki orde dua dan tingkat tiga.
-
3Ketahui perbedaan antara penyelesaian lengkap atau umum, dengan penyelesaian khusus. Penyelesaian lengkap berisi konstanta sebanyak tingkat persamaan. (Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde ke-n, Anda harus mengintegralkan persamaan tersebut sebanyak n kali, dan setiap kali Anda mengintegralkan, Anda harus menambahkan sebuah konstanta.) Contohnya, dalam teori bunga majemuk, persamaan diferensial dy/dt=ky memiliki orde satu, dan solusi umumnya y = ce^(kt) memiliki 1 konstanta. Persamaan khusus didapatkan dengan mengisikan nilai tertentu kedalam konstanta di penyelesaian umum.
Ini adalah video penjelasan yang lebih panjang dan mendalam mengenai persamaan diferensial.
2
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Satu
Persamaan diferensial orde satu dan tingkat satu dapat dinyatakan dengan M dx + N dy = 0, dimana M dan N adalah fungsi dari x dan y. Untuk menyelesaikan persamaan ini, ikuti langkah berikut:
-
1Periksa apakah variabelnya dapat dipisahkan. Variabel dapat dipisahkan jika persamaan diferensialnya dapat dinyatakan dengan f(x)dx + g(y)dy = 0, dimana f(x) hanya memiliki fungsi x, dan g(y) hanya memiliki fungsi y. Persamaan seperti ini merupakan yang paling mudah untuk dikerjakan. Mereka dapat diintegralkan menjadi∫f(x)dx + ∫g(y)dy = c, dimana c merupakan konstanta. Berikut adalah pengerjaan umumnya. Lihat Gambar 2 untuk contoh.
- Hilangkan pecahan. Jika sebuah persamaan memiliki turunan, kalikan dengan diferensial dari variabel independennya.
- Kumpulkan semua bagian yang memiliki diferensial yang sama menjadi satu bagian.
- Integralkan setiap bagian secara terpisah.
- Sederhanakan operasi perhitungan, dengan menggabungkan bagian yang sama, merubah logaritma menjadi pangkat, dan menggunakan simbol yang paling sederhana untuk konstanta.
Video di atas menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial yang dapat dipecah.
-
2Jika variabel tidak dapat dipisahkan, periksa apakah persamaan diferensial tersebut bersifat homogen. Persamaan diferensial, M dx + N dy = 0, dikatakan homogen jika nilai λx dan λy yang menggantikan x dan y menghasilkan fungsi awal yang dikalikan oleh λ atau pangkat dari λ, di mana pangkat dari λ disebut tingkat dari fungsi awal. Jika sesuai, lakukan langkah berikut. Lihat Gambar 3 untuk contoh.
- Anggap y=vx, maka dy/dx = x(dv/dx) + v.
- Dari M dx + N dy = 0, didapatkan dy/dx = -M/N = f(v), karena y adalah fungsi dari v.
- Sehingga f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v. Sekarang variabel x dan v dapat dipisahkan: dx/x = dv/(f(v)-v)).
- Selesaikan persamaan baru dengan variabel terpisah, kemudian substitusikan y=vx untuk mendapatkan y.
Video di atas menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde satu.
-
3Jika persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan dengan dua cara di atas, periksa apakah persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai persamaan linear, dinyatakan dengan dy/dx + Py = Q, dimana P dan Q hanya mengandung fungsi x, atau konstanta. Perhatikan bahwa x dan y dapat digunakan bergantian. Jika hal di atas dapat dilakukan, lakukan langkah berikut. Lihat Gambar 4 untuk contoh.
- Anggap y=uv, dimana u dan v adalah fungsi dari x.
- Diferensialkan, untuk mendapatkan dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx).
- Substitusikan menjadi dy/dx + Py = Q, untuk mendapatkan u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q, atau u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q.
- Tentukan u dengan mengintegralkan du/dx + Pu = 0, dimana variabelnya dapat dipisahkan. Kemudian gunakan nilai u yang didapatkan untuk menentukan v dengan menyelesaikan u(dv/dx) = Q.
- Terakhir, substitusikan y=uv untuk mendapatkan y.
Video di atas menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear orde satu.
-
4Menyelesaikan Persamaan Bernoulli[2]: dy/dx + p(x) y = q(x) yn:
- Anggap u = y1-n, maka du/dx = (1-n) y-n (dy/dx).
- Maka, y = u1/(1-n), dy/dx = (du/dx) yn / (1-n), dan yn = un/(1-n).
- Substitusikan persamaan di atas kedalam Persamaan Bernoulli, dan kalikan dengan (1-n) / u1/(1-n), hasilnya adalah
du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x). - Perhatikan bahwa persamaan di atas adalah persamaan linear orde satu dengan variabel u, dan dapat diselesaikan dengan langkah – langkah di tahap 3. Setelah selesai, substitusikan kembali y = u1/(1-n) untuk mendapatkan penyelesaian lengkap.
Video di atas menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli.
3
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Dua
-
1Periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 5, dimana f(y) hanya memiliki fungsi y, atau merupakan sebuah konstanta. Jika sesuai, lakukan langkah – langkah yang ada dalam Gambar 5.
-
2Menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan: Periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 6. Jika sesuai, persamaan diferensial tersebut dapat dikerjakan seperti persamaan kuadrat dengan langkah – langkah berikut:
Video ini menjalaskan properti yang ada pada persamaan linear orde dua.
Video ini menjelaskan cara menyelesaikan persamaan linear oder dua.
Video lucu ini juga menjelaskan pengerjaan persamaan diferensial orde dua. -
3Untuk menyelesaikan persamaan linear biasa orde dua, periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 7. Jika sesuai, persamaan tersebut dapat dikerjakan dengan langkah – langkah berikut. Lihat Gambar 7 untuk contoh.
- Selesaikan persamaan (1) di Gambar 6 (dimana f(x)=0) menggunakan metode di atas. Anggaplah solusi lengkapnya y = u. u adalah fungsi pelengkap untuk persamaan (1) di Gambar 7.
- Tentukan penyelesaian khusus y = v dari persamaan (1) di Gambar 7 dengan melakukan pengujian. Lakukan langkah berikut:
- Jika f(x) bukan penyelesaian khusus dari persamaan (1):
- Jika f(x) dinyatakan dengan f(x) = a + bx, asumsikan y = v = A + Bx;
- Jika f(x) dinyatakan dengan f(x) = aebx, asumsikan y = v = Aebx;
- Jika f(x) dinyatakan dengan f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx, asumsikan y = v = A1 cos bx + A2 sin bx.
- Jika f(x) adalah penyelesaian khusus dari persamaan (1), asumsikan v adalah fungsi di atas dikalikan dengan x.
- Jika f(x) bukan penyelesaian khusus dari persamaan (1):
- Penyelesaian lengkap (1) dihasilkan oleh y = u + v.
Video di atas menjelaskan cara menyelesaikan persamaan linear biasa orde dua.
4
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Tinggi
Persamaan diferensial dengan orde lebih dari dua jauh lebih sulit untuk dikerjakan, kecuali untuk beberapa kasus tertentu, seperti:
-
1Periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 5, dimana f(x) hanya memiliki fungsi x, atau merupakan sebuah konstanta. Jika sesuai, lakukan langkah – langkah yang ada dalam Gambar 8.
-
2Menyelesaikan persamaan diferensial orde ke n dengan koefisien konstan: Periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 9. Jika sesuai, persamaan tersebut dapat dikerjakan sebagai berikut:
-
3Untuk mengerjakan persamaan linear biasa orde ke-n, periksa apakah persamaan tersebut sesuai dengan persamaan (1) dalam Gambar 10. Jika sesuai, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode yang mirip dengan metode penyelesaian persamaan linear orde dua:
Penggunaan dalam Kehidupan Sehari-hari
-
Teori bunga majemuk: tingkat pertambahan bunga berbanding lurus dengan jumlah dana awal. Lebih umumnya, tingkat perubahan terhadap sebuah variabel bebas berbanding lurus dengan nilai fungsi yang bersangkutan. Dapat dinyatakan demikian jika y = f(t), dy/dt = ky. Dengan menggunakan metode variabel terpisah, didapatkan y = ce^(kt), dimana y adalah jumlah uang yang terkumpul pada bunga majemuk, c sebagai konstanta, k sebagai suku bunga, contohnya bunga dari satu dollar dalam satuan dollar selama satu tahun, dan t sebagai waktu. Karenanya, waktu adalah uang.
- Perhatikan bahwa teori bunga majemuk berlaku dalam banyak hal di dunia nyata. Contohnya, Anda ingin mengencerkan larutan garam dengan menambahkan air untuk menurunkan kadar garamnya. Berapa banyak air yang harus ditambahkan, dan seperti apa perubahan tingkat konsentrasi larutan terhadap jumlah air air yang ditambahkan?
Anggap s = jumlah garam dalam larutan, x = jumlah air yang telah ditambahkan, dan v = volume larutan. Kadar garam dalam larutan diperoleh dengan s/v. Jika volume larutan dikurangi sebanyak Δx, maka jumlah kadar garam dalam larutan berkurang sebanyak (s/v)Δx, karenanya, perubahan kadar garam, Δs, dapat diperoleh dengan Δs = -(s/v)Δx. Bagi kedua sisi dengan Δx, didapatkan Δs/Δx = -(s/v). Tentukan limitnya sebagai Δx-->0, dan didapatkan ds/dx = -s/v, sebuah persamaan diferensial dalam bentuk teori bunga majemuk, dimana y adalah s, t adalah x, dan k adalah -1/v. -
Hukum Pendinginan Newton merupakan contoh lain dari teori bunga majemuk. Hukum ini menyatakan bahwa laju pendinginan suhu suatu benda sebanding dengan perbedaan antara suhu sendiri dan suhu ruangan. Anggap x = suhu benda di atas suhu ruangan, t = waktu, maka didapatkan dx/dt = kx, dimana k merupakan konstanta. Hasilnya adalah x = ce^(kt), dimna c adalah konstanta. Anggap perbedaan suhu, x, awalnya adalah 80 derajat, kemudian berkurang menjadi 70 derajat setelah 1 menit. Berapa perbedaan suhu setelah 2 menit?
Anggap t = waktu dalam menit, x = perbedaan suhu dalam derajat, didapatkan 80 = ce^(k*0) = c, dan 70 = ce^(k*1) = 80e^k, maka k = ln(7/8). Diketahui bahwa x = 70e^(ln(7/8)t) adalah penyelesaian khususnya. Masukkan t = 2, didapatkan x = 70e^(ln(7/8)*2) = 53.59 derajat setelah 2 menit. - Dalam Termodinamika Atmosfer (Udara), tekanan udara p di atas laut berubah sebanding dengan ketinggian h di atas permukaan laut—jenis lainnya dari perhitungan bunga majumuk. Persamaan diferensialnya adalah dp/dh = kh, dimana k merupakan konstanta.
- Dalam Kimia, kecepatan reaksi kimia dimana x adalah jumlah , t adalah laju perubahan x. Anggap a = konsentrasi di awal reaksi, maka dx/dt = k(a-x), dimana k adalah konstanta dari kecepatan. Ini adalah jenis lain dari teori bunga majemuk dimana (a-x) merupakan variabel terikatnya. Karena d(a-x)/dt = -k(a-x), maka d(a-x)/(a-x) = -kdt. Integralkan, kemudian didapatkan ln(a-x) = -kt + a, karena a-x = a saat t = 0. Dengan penyusunan ulang, didapatkan konstanta kecepatan k = (1/t)ln(a/(a-x)).
- Dalam Elektromagnetika, diberikan sebuah rangkaian listrik dengan tegangan V and arus i (ampere), tegangan V diperlukan untuk melewati tahanan R (ohm) dalam sirkuit dan induktansi L, seperti dinyatakan dalam persamaan V=iR + L(di/dt), atau di/dt = (V - iR)/L. Ini juga merupakan bentuk lain dari teori bunga majemuk, dimana V - iR merupakan variabel terikat.
- Perhatikan bahwa teori bunga majemuk berlaku dalam banyak hal di dunia nyata. Contohnya, Anda ingin mengencerkan larutan garam dengan menambahkan air untuk menurunkan kadar garamnya. Berapa banyak air yang harus ditambahkan, dan seperti apa perubahan tingkat konsentrasi larutan terhadap jumlah air air yang ditambahkan?
-
Dalam Akustik, getaran harmonis sederhana memiliki percepatan yang berbanding lurus dengan nilai negatif dari jaraknya (simpangannya). Ingat bahwa percepatan merupakan turunan kedua dari jarak, maka d2s/dt2 + k2s = 0, dimana s = jarak, t = waktu, dan k2 adalah besaran percepatan pada satuan jarak. Ini merupakan persamaan gerak harmonis, sebuah persamaan linear orde dua dengan koefisien konstan, seperti yang telah dijelaskan pada Gambar 6, persamaan (9) dan (10). Penyelesaiannya adalah s = c1cos kt + c2sin kt.
Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi c1 = b sin A, c2 = b cos A. Dengan substitusi, didapatkan b sin A cos kt + b cos A sin kt. Dalam trigonometri, sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y, maka perhitungannya dirubah menjadi s = b sin (kt + A). Gelombang persamaan harmonis sederhana bergerak antara b dan -b, dengan periode 2π/k.- Pegas bergetar: letakkan sebuah objek, dengan massa m, diatas sebuah pegas yang bergetar. Menurut Hukum Hooke,[3] saat sebuah pegas diregangkan atau ditekan sebanyak s dari panjang awalnya (atau dari kesetimbangan), pegas tersebut akan menghasilkan gaya pantul sebesar F yang sebanding dengan s, atau F = -k2s. Mengacu kepada Hukum Dua Newton (gaya sama dengan masa dikali percepatan),[4] didapatkan m d2s/dt2 = -k2s, atau m d2s/dt2 + k2s = 0, yang mana merupakan perhitungan dari persamaan harmonis sederhana
-
Getaran teredam: bayangkan pegas bergetar seperti di atas, dengan gaya redam. Gaya redam adalah segala hal, seperti gesekan, yang cenderung mengurangi amplitudo (lebar ayunan) osilasi dalam osilator. Contohnya, gaya redam dapat dihasilkan oleh shock breaker pada kendaraan. Umumnya, gaya redam, Fd, kurang lebih sebanding dengan kecepatan sebuah objek,[5] or Fd = -c2 ds/dt, dimana c2 adalah konstanta. Dengan menggabungkan gaya redam dan gaya pantul, didapatkan -k2s - c2 ds/dt = m d2s/dt2, dengan menggunakan Hukum Kedua Newton. Atau, m d2s/dt2 + c2 ds/dt + k2s = 0. Persamaan diferensial ini adalah persamaan linear orde dua yang dapat diselesaikan dengan mengerjakan persamaan tambahan mr2 + c2r + k2 = 0, setelah mensubstitusikan s = e^(rt).
Dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat didapatkan r1 = (-c2+ sqrt(c4- 4mk2)) / 2m; r2= (-c2 - sqrt(c4 - 4mk2)) / 2m.- Overdamping (Redaman Berlebih): Jika c4 - 4mk2 > 0, dan r1 serta r2 merupakan bilangan real dan tidak sama. Penyelesaiannya adalah s = c1e^(r1t) + c2e^(r2t). Karena c2, m, dan k2 keduanya bernilai positif, sqrt(c4 - 4mk2) harus lebih kecil dari c2, yang berarti bahwa kedua akar, r1 dan r2, bernilai negatif, dan fungsi tersebut mengalami peluruhan eksponensial. Dalam hal ini, osilasi tidak terjadi. Gaya redam yang kuat, sebagai contohnya, dapat dihasilkan oleh oli atau pelumas dengan kekentalan tinggi.
- Critical Damping (Redaman Kritis): Jika c4 - 4mk2 = 0, r1 = r2 = -c2 / 2m. Penyelesaiannya adalah s = (c1 + c2t)e^((-c2/2m)t). Ini masih merupakan peluruhan eksponensial tanpa osilasi. Tetapi, perubahan terkecil dalam gaya redam akan membuat objek berosilasi melewati titik kesetimbangan.
- Underdamping (Redaman Rendah): Jika c4 - 4mk2 < 0, dan akarnya merupakan bilangan kompleks, dihasilkan oleh -c/2m +/- ωi, dimana ω = sqrt(4mk2 - c4)) / 2m. Penyelesaiannya adalah s = e^(-(c2/2m)t) (c1 cos ωt + c2 sin ωt). Ini adalah osilasi yang diredam sebanyak e^(-(c2/2m)t. Karena c2 dan m bernilai positif, e^(-(c2/2m)t) akan menjadi 0 saat t mendekati nilai tak terhingga. Gerakan objek pun lama kelamaan akan menjadi 0 (diam).
Tips
- Ada banyak persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode – metode di atas. Akan tetapi, metode – metode di atas cukup untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang sering ditemui.
- Substitusikan kembali penyelesaian yang telah didapat kedalam persamaan diferensial awal, untuk memeriksa apakah hasil dari persamaan tersebut sesuai. Hal ini dilakukan untuk memastikan bahwa persamaan telah diselesaikan dengan tepat.
- Catatan: pembahasan mengenai kalkulus diferensial disebut kalkulus integral, membahas mengenai ringkasan pengaruh dari jumlah yang berubah – ubah; contohnya, menghitung jarak (bandingkan dengan d = rt) yang ditempuh oleh sebuah objek ketika laju sesaatnya (kecepatan) selama suatu selang waktu diketahui.
Peringatan
- Tidak seperti diferensial, dimana turunan dari perhitungan apapun dapat diselesaikan, ada banyak perhitungan yang tidak dapat diintegralkan. Jangan membuang waktu untuk mengintegralkan perhitungan yang tidak dapat diintegralkan. Periksalah Tabel Integral untuk memastikan. Sebuah solusi dari persamaan diferensial dianggap selesai ketika persamaan tersebut telah mencakup perhitungan integral, tidak peduli apakah integral dari persamaan tersebut dapat benar – benar dikerjakan atau tidak.
Hal Yang Anda Butuhkan
- Kertas
- Bolpoin atau pensil
- Tabel integral dapat membantu
Sumber
- http://math.uww.edu/~mcfarlat/250de2.htm
- http://www.physics.ohio-state.edu/~physedu/mapletutorial/tutorials/diff_eqs/intro.html
- http://www.sosmath.com/tables/diffeq/diffeq.html
- ↑ Dictionary.com Unabridged based on Random House Dictionary © Random House, Inc. 2009.
- ↑ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
- ↑ http://en.wikipedia.org/wiki/Hooke's_law
- ↑ http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_second_law#Newton.27s_second_law
- ↑ http://en.wikipedia.org/wiki/Damping
