3种方法来计算梯形的周长

如何计算梯形的周长

3 方法:已知两条侧边长和上、下底边长已知梯形的高、两条侧边长和上底边边长已知梯形的高、上底边长和底部内夹角角度

梯形是指只有一组对边平行的凸四边形。和其它多边形一样,计算梯形的周长时,你需要将所有边的边长(四个边长)相加,得到一个总和,这就是梯形的周长。然而很多时候,你可能不知道某些边的边长,而知道一些其它信息,比如梯形的高和夹角角度等。你可以利用这些已知的信息,通过几何学的定律和三角函数求出未知的边长。

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已知两条侧边长和上、下底边长

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    写出梯形的周长公式。周长公式是,其中代表梯形的周长,变量 是梯形上底边的边长,变量 是梯形下底边的边长(在梯形中,平行的两条边是梯形的底边,短的一条是上底边,长的是下底边)。是梯形左侧的侧边长,是梯形右侧的侧边长。以下公式里所有的P都代指周长,不再做中文注明。[1]
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    将每条边的边长带入公式。如果你不知道梯形的其中一条边的边长,那么你将无法使用这个公式来求周长。
    • 例如,有一个梯形,已知它的上底边边长为2厘米,下底边边长为3厘米,两个侧边都是1厘米。那么带入公式,可得出
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    将各边长相加,就能得到梯形的周长。
    • 例如:


      因此,梯形的周长为7厘米。

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已知梯形的高、两条侧边长和上底边边长

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    将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线,画出梯形的高。
    • 如果只能画出一个直角三角形,而不是两个,这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形,它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
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    画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边,因此它们的长短相同。[2]
    • 例如,如果梯形的高为6厘米,那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线,得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度,也就是6cm。
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    标出底边中央部分的长度,也就是分割得到的矩形的底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边,因此,它的长度等于梯形上底边(也是矩形的对边)的长度。[3] 如果你不知道梯形上底边的长度,则无法使用这个方法进行计算。
    • 例如,如果梯形的上底边长为6厘米,那么下底边中央部分的长度为6厘米。
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    写出勾股定理的公式,来计算第一个直角三角形的边长。勾股定理的公式是,其中 是直角三角形的斜边长(也就是正对着直角的一条边), 是直角三角形的高, 是直角三角形的底边长。[4]
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    将第一个三角形里已知的信息、数据带入公式里。将梯形的侧边长带入公式里的。将梯形的高带入公式里的
    • 例如,如果你已知梯形的高为6厘米,一条侧边(直角三角形的斜边)长为9厘米,那么带入公式得:
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    计算等式里已知数值的平方。然后相减得到变量的平方。
    • 例如,如果等式是,先计算6和9的平方,然后用9的平方减去6的平方:


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    开方运算,得到的值。(如果你想要完整了解详细的化简平方根的方法,请查阅化简平方根。)这样,就能得到第一个三角形未知的那条边的边长。将结果标在三角形的底边上。
    • 例如:




      因此,将 标记在第一个三角形的底边上。
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    求出第二个直角三角形中未知长度的边长。写出勾股定理,并按照上面讲述的方法求出未知边的边长。如果是等腰梯形,那么梯形的两条不平行的侧边是一样长的。也就是说这两个三角形的斜边长是一样的。[5] 这两个直角三角形能够完全重合在一起,所以你可以直接用第一个三角形的数据来代替第二个三角形的边长。
    • 例如,如果梯形的另一条侧边长为7厘米,那么代入公式,可以得到:





      因此,将标记在第二个三角形的底边上。
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    将梯形的所有边长相加。多边形的周长等于所有边长的总和:。对于梯形的下底边,你需要将两个直角三角形的底边和矩形底边相加,得到的总和就是梯形的下底边长。最后的结果可能带着平方根。你可以查阅“平方根的加法运算”等文章,来详细学习如何计算平方根的加法。你也可以用计算器把平方根化成小数后,进行计算。
    • 例如,
      将平方根换算成小数,得到
      因此,梯形的周长约为38.314厘米。

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已知梯形的高、上底边长和底部内夹角角度

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    将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线,画出梯形的高。
    • 如果只能画出一个直角三角形,而不是两个,这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形,它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
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    画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边,因此它们的长短相同。[6]
    • 例如,如果梯形的高为6厘米,那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线,得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度,也就是6 cm。
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    标出底边中央部分的长度,也就是分割得到的矩形底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边,因此,它的长度等于梯形上底边(也是矩形的对边)的长度。[7]
    • 例如,如果梯形的上底边长为6厘米,那么下底边中央部分的长度为6厘米。
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    写出第一个直角三角形的正弦函数公式。正弦函数公式是:,其中 是三角形的一个内角,在我们的例子中,这个内角是斜边和底边形成的夹角。这里的 是三角形的高,是三角形斜边的长度。
    • 用正弦函数公式能让你求出第一个三角形的斜边,也就是梯形的一条侧边。
    • 斜边是正对着直角三角形里直角的那条边。
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    将已知的数值带入正弦函数公式。确保将三角形的高带入公式里的“对边”变量。这样能求出斜边长。
    • 例如,如果已知底部内夹角为35度,三角形的高为6厘米,那么代入公式得到
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    求出夹角的正弦值。在科学计算器上按下“SIN”按钮,计算夹角正弦值。然后将数值带入上面的公式。
    • 例如,用计算器计算35度的正弦值是0.5738(近似值)。所以,你的公式就变成了:
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    求出斜边长H。要求出H,你需要在等式两边同时乘上H,然后同时除以夹角的正弦值。或者你可以直接使用三角形的高除以夹角的正弦值。
    • 例如:




      所以,弦的长度,也就是梯形的第一条未知边的边长就是10.4566厘米。
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    求出第二个直角三角中的弦长。对第二个已知的夹角列出正弦公式() 。通过正弦公式,你可以求出弦的长度,也是梯形的一条斜边的长度。
    • 例如,如果已知另一个夹角的度数是45度,计算如下:




      所以,弦的长度,也就是梯形的第二条未知边的边长就是8.4854厘米。
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    列出第一个直角三角形的勾股定理公式。勾股定理的公式是,其中表示弦的长度,表示高的长度。
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    将第一个三角形中已知的数值代入到公式中。确保将弦长代入到中,将高代入到中。
    • 例如,如果第一个三角形的弦长是10.4566,高是6,你的公式就会变成:
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    求出这样你就能得到第一个直角三角的底边边长,也就是梯形底边未知的第一部分的长度。
    • 例如:






      所以,三角形的底边边长,也就是也就是梯形底边未知的第一部分的长度是8.5639厘米。
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    求出第二个直角三角形的底边长度。同样时用勾股定理()进行计算。将弦长代入到中,将高代入到中。求出,也就得到了梯形底边未知的第二部分的长度。
    • 例如,如果第二个直角三角形的弦长为8.4854,高为6,计算过程如下:






      所以,第二个直角三角形的底边边长,也就是也就是梯形底边未知的第二部分的长度是6厘米。
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    将三部分长度相加。梯形的周长是所有边长之和:。而要得到底边边长,你需要将矩形的底边长和两个三角形的底边长相加。
    • 例如,
      所以,梯形的周长为45.5059厘米。

小提示

  • 你可以利用特殊三角形的规律计算未知边的边长,不需要使用正弦公式或勾股定理。特殊规律适用于角度分别为30-60-90,[8]或90-45-45的三角形。[9]
  • 使用科学计算器计算任意角的正弦值,只需要输入角的度数,然后按下“SIN”按钮。你也可以参照三角函数表,找到角的正弦值。[10]

你需要准备

  • 计算器
  • 铅笔