4种方法来计算三角形面积-思拓创客综合信息网站

如何计算三角形面积

4 方法:使用底和高进行计算使用边长进行计算使用等边三角的边长进行计算使用三角函数进行计算

我们通常用三角形的底边长乘以高，再除以2，来计算三角形的面积。但是实际上，还有很多方法可以算三角形面积。你可以根据已知的信息，选择不同的公式来计算三角形面积。如果你知道边长和夹角度数时，可以利用这些数据，在不知道高的情况下算出三角形的面积。

方法 1
使用底和高进行计算

1
找出三角形底和高的长度。三角形的“底”就是它的其中一条边，通常指位于底部的侧边。“高”是指从底边到三角形顶部最高点的长度。当你从三角形的底边向对面顶点作垂线，画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的，或是可以通过测量得到的。
- 例如，有一个三角形，经测量得到底边长5厘米，高3厘米。
2

写下用于计算三角形面积的公式。面积公式是： ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ，这里的 $b$ 是三角形的底边长， $h$ 是三角形的高。^[1]
3
将底边长和高带入公式。将两个数值相乘，然后用得到的结果乘以 ${\frac {1}{2}}$ ，就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 例如，如果三角形的底边长为5 cm，高为3 cm，那么带入公式得到：
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{面积}}=7.5$
  因此，一个底边长为5厘米、高为3厘米的三角形的面积为7.5平方厘米。
4
求直角三角形的面积。由于直角三角形的两条边是相互垂直的，因此，一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高，另一条边就是底边。因此，就算没有明确给出底边长和高，但如果已知两条直角边长，就相当于知道底边长和高了。接着，就可以用公式 ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$ 来计算三角形面积了。
- 如果你已知一条直角边和斜边的长度，也可以用这个面积公式来求面积。斜边是直角三角形中最长的一个边，正对着直角夹角。如果已知斜边长和一条直角边的边长，可以通过勾股定理（ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ）算出另一条直角边的边长。
- 例如，如果三角形的斜边为c，高和底就是另外两条直角边a和b。如果已知斜边c边长为5 cm，一条直角边（底边）长为4 cm，用勾股定理求出高：
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  此时，再把两个直角边长（a和b）当做底边和高带入面积公式：
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{面积}}=6$

方法 2
使用边长进行计算

1
计算三角形的半周长。半周长等于图形周长的一般。想算出三角形的半周长，需要先将三角形的三条边长加起来求出周长，然后乘以 ${\frac {1}{2}}$ 。^[2]
- 例如，如果三角形的三边长为5 cm、4 cm和3 cm，那么半周长就是：
  $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
2

用海伦公式求三角形面积。海伦公式是： ${\text{面积}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ，其中 $s$ 是三角形的半周长， $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是三角形三条边的长度。^[3]
3
将半周长和边长带入公式。确保把半周长带入公式中的每个 $s$ ，进行计算。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4
计算括号中的值。用半周长减去每一个边长，然后将三个结果相乘。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6)}}$
5
将根号下的两个数值相乘。然后，求平方根。这样就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{面积}}=6$
  因此，例子中三角形的面积是6平方厘米。

方法 3
使用等边三角的边长进行计算

1
求三角形一条边的边长。等边三角形是三条边边长相等、三个角角度相同的三角形，所以如果你知道了一条边的边长，就相当于知道了所有边的边长。^[4]
- 比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米。
2

列出等边三角形的面积公式。面积公式是 ${\text{面积}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ ，其中 $s$ 是等边三角形的边长。^[5]
3
将边长的数值代入到公式中。确保是将公式中的每个变量 $s$ 都替代成具体的数值，然后求出它的平方。
- 比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米，计算过程如下：
  ${\text{面积}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4
用边长的平方乘以 ${\sqrt {3}}$ 。为了得到更准确的结果，你可以使用计算器的平方根函数进行计算。或者，你可以用 ${\sqrt {3}}$ 的近似值1.732来代替根号3进行计算。
- 比如：
  ${\text{面积}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}={\frac {62.352}{4}}$
5
将得出的结果除以4。最后得到的结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 比如：
  ${\text{面积}}={\frac {62.352}{4}}$
  ${\text{面积}}=15.588$
  所以，边长为6厘米的等边三角形的面积是15.59平方厘米。

方法 4
使用三角函数进行计算

1
找到三角形两条邻边的边长和它们夹角的度数。邻边是三角形中具有共同顶点的两条边。^[6]夹角就是这两条邻边所夹的角。
- 比如，两条邻边的长度分别是150厘米和231厘米，夹角为123度。
2

列出求三角形面积的三角函数公式。公式为 ${\text{面积}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ ，其中 $b$ 和 $c$ 是三角形邻边的边长， $A$ 是它们所夹夹角的度数。^[7]
3
将边长代入到公式中。确保用已知边长的数值替代对应的 $b$ 和 $c$ 变量。然后将两者相乘，再除以2。
- 比如：
  ${\text{面积}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}=17,325\sin A$
4
将角的正弦值代入到公式中。你可以在科学计算器中输入角的度数，然后按下“SIN”按钮，得到它的正弦值。
- 比如，123度的正弦值是0.83867，所以公式如下：
  ${\text{面积}}=17,325\sin A$
  ${\text{面积}}=17,325(.83867)$
5
将两个结果相乘。最终结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 比如：
  ${\text{面积}}=17,325(.83867)$
  ${\text{面积}}=14,529.96$
  所以，三角形的面积是14,530平方厘米。

小提示

如果你不是很理解三角形面积公式的推算过程（或计算原理），那么这里有一个简单的解释，能帮助你的理解。如果你画一个跟原三角形一模一样的三角形，并把两个三角形拼在一起，就会形成一个矩形（两个直角三角形拼在一起），或平行四边形（非直角三角形）。如果要计算矩形或平行四边形的面积，你需要用底边长乘以高。由于矩形或平行四边形等于两个三角形大小，所以三角形的面积就是底乘以高，然后再除以2。